Dezimalrechnung nach oben

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Anna Heynkes, 29.11.2004

Definitionen zur Dezimalrechnung nach oben

Dezimalzahlen nennt man die Zahlen, in denen ein Komma vorkommt (zum Beispiel 6,4 oder 0,7). Die Stellen rechts vom Komma nennt man Dezimalstellen. Die erste Nachkommastelle steht für die Zehntel, die zweite steht für Hundertstel, die dritte für Tausendstel und so weiter. So hat also 6,4 den Wert von 6 4/10 und 0,7 den Wert von 7/10.

Beispiele:
8/10 = 0,8
8/100 = 0,08
8/1000 = 0,008

Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen nach oben

Brüche mit einer Zehnerpotenz lassen sich einfach in Dezimalzahlen umwandeln, indem man in den Zähler ein Komma setzt, dass vom rechten Rand so viele Stellen entfernt ist, wie der Nenner Nullen hat.

Beispiele:
3/10 = 0,3
8/100 = 0,08
45/1000 = 0,045

Ist im Nenner keine Zehnerpotenz vorhanden, so mus man entweder erweitern bis dies der Fall ist, oder den Bruch ausrechnen. Beim Erweitern sollte man wenn möglich vorher kürzen. Oft ergibt sich dann schon ein Bruch mit einer Zehnerpotenz. Auch wenn das nicht immer der Fall ist, so kann man durch das Kürzen wenigstens leichter auf einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner erweitern.

Beispiele:
statt 6/20 = 30/100 = 0,30 ist es einfacher zu rechnen: 6/20 = 3/10 = 0,3
statt 9/45 = 9:45 = 0,2 ist es einfacher zu rechnen: 9/45 = 1/5 = 2/10 = 0,2

Vergleichen von Dezimalzahlen nach oben

Man vergleicht Dezimalzahlen im Grunde genauso wie man natürliche Zahlen vergleicht. Sind die beiden Zahlen vor dem Komma gleichwertig, so vergleicht man die Zehntel. Sind diese wiederum gleich, so vergleicht man die Hundertstel u.s.w. .

Beispiele:
3,481 > 3,381
0,931 < 0,936

Runden von Dezimalzahlen nach oben

Die Ergebnisse einer Rechnung haben gelegentlich mehr Dezimalstellen, als benötigt werden oder als sinnvoll sind. Dann muss man auf- oder abrunden. Aber auch für Überschlagsrechnungen benötigt man gerundete Zahlen.

Beim Runden einer Dezimalzahl lässt man die überzähligen Dezimalstellen weg. Wichtig ist dabei, wie groß die (von links aus gesehen) erste wegfallende Ziffer ist. Ist diese eine 5,6,7,8 oder 9, so wird aufgerundet: es muss dann die letzte Ziffer, die stehenbleiben soll, um die Zahl 1 vergrößert werden. Ist die (von links aus gesehen) erste wegfallende Ziffer eine 0,1,2,3 oder 4, so wird abgerundet: die letzte Ziffer, die stehenbleiben soll, wird nicht verändert. Die rechts folgenden Ziffern fallen einfach weg.

Beispiele:
3,481 ist auf Zehntel gerundet 3,5
0,931 ist auf Hunderstel gerundet 0,93

Addieren von Dezimalzahlen nach oben

Beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen muss man, genau wie bei natürlichen Zahlen, Ziffern von gleichem Stellenwert untereinander schreiben. Die Kommas stehen, wenn alles richtig geschrieben wurde, auch untereinander. Dann wird normal addiert. Das Komma des Ergebnisses steht unter den Kommas der Summanden.

Beispiele:
  0,42     2,0364
+ 0,34   + 0,71
------   --------
  0,76     2,7464

Subtrahieren von Dezimalzahlen nach oben

Beim schriftlichen Subtrahieren von Dezimalzahlen muss man, genau wie bei natürlichen Zahlen, Ziffern von gleichem Stellenwert untereinander schreiben. Die Kommas stehen, wenn alles richtig geschrieben wurde, auch untereinander. Dann wird normal subtrahiert. Das Komma des Ergebnisses steht unter den Kommas der darüberstehenden Zahlen.

Beispiele:
  0,42     2,0364
- 0,34   - 0,71
------   --------
  0,08     1,3264

Multiplizieren von Dezimalzahlen mit natürlichen Zahlen nach oben

Beim schriftlichen Multiplizieren von Dezimalzahlen mit natürlichen Zahlen beachtet man zuerst das Komma gar nicht. Im Ergebnis setzt man, vom rechten Rand ausgehend, das Komma um so viele Stellen nach links, wie die zu multiplizierende Dezimalzahl Nachkommastellen hatte. Das Ergebnis hat, wenn richtig gerechnet wurde, also immer so viele Nachkommastellen wie die Dezimalzahl in der Aufgabenstellung.

Beispiele:
3,5 · 5 = 17,5
9,36 · 3 = 28,08

Dezimalzahlen mit Dezimalzahlen multiplizieren nach oben

Beim schriftlichen Multiplizieren von Dezimalzahlen beachtet man zuerst das Komma gar nicht. Im Ergebnis setzt man, vom rechten Rand ausgehend, das Komma um so viele Stellen nach links, wie die zu multiplizierenden Dezimalzahlen Nachkommastellen haben. Das Ergebnis hat, wenn richtig gerechnet wurde, also immer so viele Nachkommastellen wie die Dezimalzahlen in der Aufgabenstellung.

Beispiele:
3,5 · 5,9 = 20,65
9,36 · 3,4 = 31,824

Dividieren von Dezimalzahlen durch natürlichen Zahlen nach oben

Zuerst dividiert man wie gewohnt. Sobald man aber beim Rechnen das Komma überschreitet, muss man im Ergebnis ein Komma setzen. Erst dann darf man das Komma überschreiten und weiter rechnen.

Beispiele:
2,46 : 2 = 1,23
3,69 : 3 = 1,23

Dividieren von Dezimalzahlen durch Dezimalzahlen nach oben

Bei dieser Art von Division verschiebt man zuerst das Komma beider Dezimalzahlen so lange um jeweils eine Stelle nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Danach rechnet man wie gewohnt. Ob der Dividend nach dem Kommaverschieben auch eine natürliche Zahl ist oder nicht spielt keine Rolle.

Beispiele:
0,2211 : 0,11 = 22,11 : 11 = 2,01
0,27 : 0,9 = 2,7 : 9 = 0,3

Vorhersage der Periodizität nach oben

Man kann schon vor dem Ausrechnen erkennen ob ein gegebener Bruch eine abrechende, gemischt periodische oder periodische Dezimalzahl ergäbe. Dies erkennt man in dem man den Nenner in seine Primfaktoren zerlegt. Bestehen diese nur aus zweien und/oder fünfen so ergäbe der Bruch als Dezimalzahl geschrieben eine abrechende Dezimalzahl. Sind zweien und/oder fünfen sowie eine oder mehrere andere Zahlen vorhanden so wird es eine gemischt periodische Dezimalzahl. Sind keine zwei und keine fünf vorhanden so wird es eine rein periodische Dezimalzahl.

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