Bruchrechnung nach oben

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Anna Heynkes, 12.12.2005

Definitionen zur Bruchrechnung nach oben

Ein echter Bruch ist eine Zahl zwischen 0 und 1, also ein Bruchteil von 1. Dargestellt werden Brüche als Quotienten, wobei der Dividend über und der Divisor unter einen Bruchstrich geschrieben werden. Weil sich Brüche auf dem Computer und besonders im Internet nur schwer auf diese Weise darstellen lassen, wird der ursprünglich gerade Bruchstrich oft auch schräg gestellt, damit die Zahlen über und unter dem Bruchstrich einfach nebeneinander geschrieben werden können.

Beispiel: 3/4, ¾, oder 3/4.

Ein "¾" geschriebener Bruch wird "drei Viertel" gelesen. In diesem Beispiel bedeutet der Bruch "¾", dass ein Ganzes (oder eine Menge aus gleichen Dingen) in vier gleiche Teile aufgeteilt werden soll und das drei dieser vier gleichen Teile zusammen den Wert dieses Bruches ausmachen.

Verallgemeinert bezeichnet man in Brüchen den Divisor unter bzw. hinter dem Bruchstrich als Nenner, weil dieser die für die Darstellung eines Bruches gewählte Stückelung benennt. Diese Stückelung gibt an, in wieviele gleiche Teile das Ganze geteilt werden soll und wie groß dementsprechend jedes einzelne Stück vom Ganzen ist. Den Dividenden über bzw. vor dem Bruchstrich nennt man Zähler, weil er die Zahl der Bruchstücke nennt, die zusammen den Wert eines Bruches ausmachen.

Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, wird als echter Bruch bezeichnet. Ist der Zähler genauso groß oder größer als der Nenner, spricht man von einem unechten Bruch. Unechte Brüche kann man in ganze oder gemischte Zahlen umwandeln.

Von Scheinbrüchen spricht man, wenn der Zähler genauso groß wie der Nenner oder ein Vielfaches von diesem ist. Scheinbrüche kann man in ganze Zahlen umwandeln.

Brüche mit dem Zähler eins, nennt man Stammbrüche

Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch.

Vergleichen von Brüchen nach oben

Haben zwei Brüche den gleichen:
  1. Nenner, so hat der Bruch mit dem größeren Zähler den größeren Wert.

    Beispiel: 5/20 > 4/20
  2. Zähler, so hat der Bruch mit dem kleineren Nenner den größeren Wert.

    Beispiel: 3/4 > 3/5

Erweitern nach oben

Erweitern heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu verfeinern. Würde man zum Beispiel bei einer in vier gleichen Teilen auf einem Teller liegenden Pizza jedes Stück noch einmal in zwei gleich große Stücke teilen, dann erhielte man eine Pizza in acht Stücken. Man hätte die Einteilung der Pizza beziehungsweise den Bruch von 4/4 auf 8/8 verfeinert.
Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Als Erweiterungszahl kann jede natürliche Zahl dienen.

Kürzen nach oben

Kürzen heißt, einen Bruch zu vergröbern. Könnte man zum Beispiel bei einer in acht gleichen Teilen auf einem Teller liegenden Pizza jeweils zwei Stücke zusammen kleben und so aus den acht Stücken vier machen, dann hätte man die Einteilung der Pizza beziehungsweise den Bruch von 8/8 auf 4/4 vergröbert.
Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilt. Als Kürzungszahl kann jede Zahl dienen, die sowohl ein Teiler des Zählers, als auch ein Teiler des Nenners ist.

Addition und Subtraktion von Brüchen nach oben

Brüche können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn ihre Nenner gleich sind. Versucht man, 1/2 und 1/3 zu addieren, dann hat man das selbe Problem wie beim Addieren von einem VW Golf und zwei Opel Astra. Die Summe bleibt 1 VW Golf und 2 Opel Astra und bringt einen kein Stück weiter. Sinnvoll wird diese Addition erst, wenn man die Bezeichnungen VW Golf und Opel Astra vergröbert und beide nur noch Autos nennt. Erst dadurch werden beide einheitlich und können zu 3 Autos addiert werden. Auch Brüche kann man einheitlich machen, ohne ihren Wert bzw. ihre Größe zu verändern. Man muss sie dazu nur kürzen oder erweitern. Haben alle Summanden oder der Minuend und die Subtrahenden den gleichen Nenner, dann nennt man sie gleichnamig und dann können die gleichnamigen Brüche addiert bzw. subtrahiert werden, indem man ihre identischen Nenner beibehält und die Zähler addiert bzw. subtrahiert.

Bevor man Brüche gleichnamig machen kann, sucht man möglichst das kgV der Nenner. Mit diesem kgV erweitern man dann die zu addierenden Brüche.

Beispiel: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Manchmal kann man auch Brüche gleichnamig machen, indem man zumindest einen von ihnen kürzt.
Beispiel: 6/12 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Rechengesetze für die Addition und Subtraktion von Brüchen nach oben

Im folgenden stehen die Variablen a, b und c für Brüche.

  1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) für die Addition und Subtraktion von Brüchen
    1. In Summen dürfen alle Summanden vertauscht werden.

      a+b+c = b+a+c = c+a+b    (Beispiel)

    2. In Subtraktionen gilt: Aufeinander folgende Subtraktions- oder Additionsschritte dürfen vertauscht werden. Der Minuend darf allerdings nicht vertauscht werden.

      a-b-c = a-c-b ≠ b-a-c    (Beispiel)

  2. Assoziativgesetz für die Addition oder Subtraktion von Brüchen
    1. In Summen darf man an beliebigen Stellen Klammern setzen; ihr Wert verändert sich dadurch nicht.

      a+b+c = (a+b) + c = a + (b+c)    (Beispiel)

    2. Bei Differenzen darf man, statt mehrere Zahlen nacheinander zu subtrahieren, die Summe dieser Zahlen subtrahieren. Oder anders ausgedrückt, bei mehrfachem Vorkommen von Subtrahenden in einem Term, darf auch die Summe dieser Subtrahenden von dem Minuenden abgezogen werden.

      a - b - c = a - (b+c)    (Beispiel)

Multiplikation einer Bruchzahl mit einer ganzen Zahl nach oben

Man multipliziert eine Bruchzahl mit einer natürlichen Zahl, indem man den Zähler mit dieser Zahl multipliziert und den Nenner beibehält.

Merke:
Erweitern bedeutet, den Bruch b.z.w. die Einteilung zu verfeinern,
während multiplizieren bedeutet, den Wert einer Zahl zu vergrößern

Division einer Bruchzahl durch eine ganze Zahl nach oben

Man dividiert eine Bruchzahl durch eine natürliche Zahl, indem man:

Beachte:
Ist die natürliche Zahl kein Teiler des Zählers so muss man den Bruch erweitern, oder den zweiten Lösungsweg anwenden.
Merke:
Kürzen bedeutet, den Bruch b.z.w. die Einteilung zu vergröbern,
während dividieren bedeutet, den Wert einer Zahl zu vermindern.

Multiplikation einer Bruchzahl mit einer Bruchzahl nach oben

Um den Bruchteil einer Bruchzahl zu berechnen, muss man die beiden Bruchzahlen miteinander multiplizieren.

Man multipliziert eine Bruchzahl mit einer anderen Bruchzahl, indem man die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinander multipliziert. (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner)

Es gilt: a/b · c/d = (a·c) / (b·d)

Division einer Bruchzahl durch eine Bruchzahl nach oben

Man dividiert eine Bruchzahl durch eine Bruchzahl, indem man Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner teilt, oder den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.(siehe oben)

Gesetze für die Multiplikation und Division von Bruchzahlen nach oben

  1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) für die Multiplikation und Division von Brüchen

    1. Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) gilt für die Multiplikation von Brüchen uneingeschränkt.

      a/b · c/d · e/f = e/f · c/d · a/b     (Beispiel)

    2. Bei der Division dürfen nur Divisoren vertauscht werden, weil das Dividieren einer Zahl durch zunächst eine und anschließend eine weitere Zahl einer einzigen Division der Zahl durch das Produkt der beiden Divisoren entspricht.

      a:b:c = a : (b·c) = a : (c·b) = a:c:b     (Beispiel)

  2. Asoziativgesetz (Klammergesetz) für die Multiplikation und Division von Brüchen

    1. Das Assoziativgesetz gilt uneingeschränkt für die Multiplikation von Brüchen.

      a/b·c/d·e/f = (a/b·c/d) · e/f = a/b · (c/d·e/f)     (Beispiel)

    2. Bei Quotienten mit mehreren Divisoren kann man auch den Dividenden durch das Produkt der Divisoren teilen, anstatt normal von links nach rechts zu dividieren.

      a:b:c = a : (b·c)     (Beispiel)

  3. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) für die Multiplikation und Division von Brüchen

    1. Es gilt das Distributivgesetz für die Multiplikation von Summen und Differenzen.
    2. Es gilt das Distributivgesetz für die Division von Summen und Differenzen.

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