Potenz- und Wurzelfunktionen 
Potenz- und Wurzelfunktionen |
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Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten |
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Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten |
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Wurzelfunktionen |
Anna Heynkes, 30.11.2004
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
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Funktionen der Form f(x) = xn mit n  von  heißen Potenzfunktionen.
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Üblicherweise wird auch die lineare Funktion f(x) = x1 dazu gerechnet.
Neben diesem Sonderfall gibt es zwei Grundtypen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Im Bereich negativer x-Werte sehen Potenzfunktionen mit geraden Exponenten deutlich anders als Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten aus, weil sich bei geraden Exponenten die negativen Vorzeichen aufheben.
| X-Werte | y=x1 | y=x3 | y=x5 | y=x7 | Graph | Erläuterungen |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 |
-2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 |
-8,00 -5,83 -4,10 -2,74 -1,73 -1,00 -0,51 -0,22 -0,06 -0,01 0,00 0,01 0,06 0,22 0,51 1,00 1,73 2,74 4,10 5,83 8,00 |
-32,0000 -18,8957 -10,4858 -5,3782 -2,4883 -1,0000 -0,3277 -0,0778 -0,0102 -0,0003 0,0000 0,0003 0,0102 0,0778 0,3277 1,0000 2,4883 5,3782 10,4858 18,8957 32,0000 |
-128,00000 -61,22200 -26,84355 -10,54135 -3,58318 -1,00000 -0,20972 -0,02799 -0,00164 -0,00001 0,00000 0,00001 0,00164 0,02799 0,20972 1,00000 3,58318 10,54135 26,84355 61,22200 128,00000 |
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f(x) = x1 ist eine Gerade, die man auch Winkelhalbierende nennt. Je größer der Exponent ist, umso steiler wird die Kurve. Die Graphen dieser Potenzfunktionen mit rationalen x-Werten und ungeraden natürlichen Exponenten sind punktsymetrisch und steigen von links unten (3. Quadrant) durch den Nullpunkt nach rechts oben (1. Quadrant) überall streng monoton wachsend an. Um den Nullpunkt schmiegen sie sich an die x-Achse an. Alle Kurven laufen durch die drei Punkte (-1,-1), (0,0) und (1,1), weil -12n-1=-1, 0n=0 und 1n=1 sind. |
| Die Lösungsmenge der Gleichung xn = a ist bei ungeradem Exponenten n: | ||
| {a1/n} | falls a > 0 | a1/n ist die n-te Wurzel aus a |
| {0} | falls a = 0 | |
| {-(|a|1/n)} | falls a < 0 | |a|1/n ist die n-te Wurzel aus dem Betrag von a |
| X-Werte | y=x2 | y=x4 | y=x6 | Graph | Erläuterungen |
|---|---|---|---|---|---|
| -2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 |
4,00 3,24 2,56 1,96 1,44 1,00 0,64 0,36 0,16 0,04 0,00 0,04 0,16 0,36 0,64 1,00 1,44 1,96 2,56 3,24 4,00 |
16,000 10,498 6,554 3,842 2,074 1,000 0,410 0,130 0,026 0,002 0,000 0,002 0,026 0,130 0,410 1,000 2,074 3,842 6,554 10,498 16,000 |
64,0000 34,0122 16,7772 7,5295 2,9860 1,0000 0,2621 0,0467 0,0041 0,0001 0,0000 0,0001 0,0041 0,0467 0,2621 1,0000 2,9860 7,5295 16,7772 34,0122 64,0000 |
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Je größer der Exponent ist, umso steiler wird die Kurve. Die Graphen dieser Potenzfunktionen mit rationalen x-Werten und geraden natürlichen Exponenten sind symetrisch zur y-Achse. Im 4. Quadranten fallen die y-Werte mit zunehmenden x-Werten stetig ab. Die Funktionen sind im Bereich negativer x-Werte (x ≤ 0) streng monoton fallend. Im 1. Quadranten steigen die y-Werte nach rechts oben (1. Quadrant) stetig an. Die Funktionen sind im Bereich positiver x-Werte (x ≥ 0) streng monoton steigend. Auch die Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten schmiegen sich in der Nähe des Nullpunktes an die x-Achse an. Alle Kurven laufen durch die drei Punkte (-1,1), (0,0) und (1,1), weil -12n=1, 0n=0 und 1n=1 sind. |
| Die Lösungsmenge der Gleichung xn = a ist bei geradem Exponenten n: | ||
| {a1/n; -(a1/n)} | falls a > 0 | a1/n ist die n-te Wurzel aus a |
| {0} | falls a = 0 | |
| {} | falls a < 0 | bei geradem Exponenten gibt es für negative a keine Lösung |
Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
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Wurzelfunktionen
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