Lösung zum Ableiten eines linearen Gleichungssytems aus einer Textaufgabe

Roland Heynkes, 15.11.2005

Bitte sieh Dir diese Lösung erst an, nachdem Du ernsthaft versucht hast, die Aufgabe selbst zu lösen! Sonst hast Du wenig davon.

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Der Umfang eines Rechtecks beträgt 28 cm. Seine Fläche reduziert sich um 12 cm2, wenn die eine Seite um 4 cm verlängert und die andere um 3 cm verkürzt wird. Berechne a und b!

Nennen wir den Betrag um 4 cm verlängerten Strecke a und den Betrag der anderen Strecke b, dann können wir unter Berücksichtigung der Dimensionen zwei Gleichungen aus der Aufgabenstellung ableiten.

  1. 2a cm + 2 b cm = 28 cm
  2. (a + 4) cm · (b - 3) cm = a cm · b cm - 12 cm2

Wir können die erste Gleichung z.B. nach a auflösen und dann für das a in der zweiten Gleichung die rechte Seite der ersten Gleichung einsetzen. Danach lösen wir die zweite Gleichung nach b auf.

2a cm = 28 cm - 2 b cm <=> a = 14 - b

(14 - b + 4) cm · (b - 3) cm = (14 - b)cm · b cm - 12 cm2
<=> (18 cm - b cm) · (b cm - 3 cm) = (14 cm - b cm) · b cm - 12 cm2
<=> 18b cm2 - 54 cm2 - b2 cm2 + 3b cm2 = 14b cm2 - b2 cm2 - 12 cm2
<=> 18b - 54 - b2 + 3b = 14b - b2 - 12
<=> 18b - 54 + 3b = 14b - 12
<=> 18b + 3b - 14b = 54 - 12
<=> 7b = 42
<=> b = 6

Nun können wir b in die erste Gleichung einsetzen und a ausrechnen.

2a cm + 2 · 6 cm = 28 cm
<=> 2a cm + 12 cm = 28 cm
<=> 2a = 28 - 12
<=> 2a = 16
<=> a = 8

Berechnen wir zur Kontrolle die Fläche des ursprünglichen Rechtecks:
8 cm · 6 cm = 48 cm2

Verlängern wir nun wie in der Aufgabenstellung beschrieben a um 4 und verkürzen wir b um 3, dann erhalten wir eine tatsächlich um 12 cm2 reduzierte Fläche:
(8 + 4) cm · (6 - 3) cm = (48 - 12) cm2
12 cm · 3 cm = 36 cm2